埼玉大学
2015年 工学部 第1問
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$c$は実数とする．数列$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$は$a_1=1$，$a_2=c$であり，さらに漸化式
\[ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1) $a_3={a_2}^2$が成り立つような$c$の値を求めよ．
(2) $c$が$(1)$で求めた値のとき，数列$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$が等比数列であることを数学的帰納法を用いて示せ．
(3) $(1)$で求めた$c$の値のうち，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0$となるものを求めよ．
(4) $c$が$(3)$で求めた値のとき，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ．
(1) $a_3={a_2}^2$が成り立つような$c$の値を求めよ．
(2) $c$が$(1)$で求めた値のとき，数列$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$が等比数列であることを数学的帰納法を用いて示せ．
(3) $(1)$で求めた$c$の値のうち，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0$となるものを求めよ．
(4) $c$が$(3)$で求めた値のとき，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ．
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