$1$個のさいころを繰り返し投げて景品を当てるゲームを行う．景品は$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$種類あり，次の規則にしたがって景品をもらえるとする． \begin{itemize}
出た目の数が$6$のときは，景品$\mathrm{A}$をもらえる．
出た目の数が$4,\ 5$のときは，景品$\mathrm{B}$をもらえる．
出た目の数が$1,\ 2,\ 3$のときは，景品はもらえない．
景品$\mathrm{A}$と景品$\mathrm{B}$の$2$種類とももらうことができたらゲームは終了する． \end{itemize} ちょうど$n$回さいころを投げ終わったところでゲームが終了する確率を$p_n$とする．次の問いに答えよ．
(1) $p_2$の値を求めよ．
(2) $n$を$2$以上の整数とする．$p_n$を$n$を用いて表せ．
(3) $n$を$2$以上の整数とする．不等式 \[ p_{n+1}-p_n<\frac{2}{3}(p_n-p_{n-1}) \] を示せ．ただし，$p_1=0$とする．