大阪薬科大学
2014年 薬学部 第3問
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![次の問いに答えなさい．辺ABの長さが1の△OABについて，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルbで表す．nを自然数とする．辺ABの中点をMとし，線分AMの中点をX_1，線分AX_1の中点をX_2，・・・，線分AX_nの中点をX_{n+1}，・・・とする．また，△OAX_1の重心をP_1，△OAX_2の重心をP_2，・・・，△OAX_nの重心をP_n，・・・とする．同様に線分BMの中点をY_1，線分BY_1の中点をY_2，・・・，線分BY_nの中点をY_{n+1}，・・・とし，△OBY_1の重心をQ_1，△OBY_2の重心をQ_2，・・・，△OBY_nの重心をQ_n，・・・とする．(1)\overrightarrow{OX_1}と\overrightarrow{P_1Q_1}をベクトルa,ベクトルbを用いて表すと，\overrightarrow{OX_1}=[I]，\overrightarrow{P_1Q_1}=[J]である．(2)線分AX_nの長さをnを用いて表すと，AX_n=[K]である．(3)\overrightarrow{P_nQ_n}はn,ベクトルa,ベクトルbを用いてどのように表されるかを求めなさい．(4)線分P_nQ_nの長さに関する不等式0.666666＜P_nQ_nを満たす最小の自然数nは[L]である．ただし，log_{2}10=3.3219とする．](./thumb/534/2304/2014_3.png)
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次の問いに答えなさい．
辺$\mathrm{AB}$の長さが$1$の$\triangle \mathrm{OAB}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$で表す．$n$を自然数とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AM}$の中点を$\mathrm{X}_1$，線分$\mathrm{AX}_1$の中点を$\mathrm{X}_2$，$\cdots$，線分$\mathrm{AX}_n$の中点を$\mathrm{X}_{n+1}$，$\cdots$とする．また，$\triangle \mathrm{OAX}_1$の重心を$\mathrm{P}_1$，$\triangle \mathrm{OAX}_2$の重心を$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\triangle \mathrm{OAX}_n$の重心を$\mathrm{P}_n$，$\cdots$とする．同様に線分$\mathrm{BM}$の中点を$\mathrm{Y}_1$，線分$\mathrm{BY}_1$の中点を$\mathrm{Y}_2$，$\cdots$，線分$\mathrm{BY}_n$の中点を$\mathrm{Y}_{n+1}$，$\cdots$とし，$\triangle \mathrm{OBY}_1$の重心を$\mathrm{Q}_1$，$\triangle \mathrm{OBY}_2$の重心を$\mathrm{Q}_2$，$\cdots$，$\triangle \mathrm{OBY}_n$の重心を$\mathrm{Q}_n$，$\cdots$とする．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OX}_1}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OX}_1}=\fbox{$\mathrm{I}$}$，$\overrightarrow{\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1}=\fbox{$\mathrm{J}$}$である．
(2) 線分$\mathrm{AX}_n$の長さを$n$を用いて表すと，$\mathrm{AX}_n=\fbox{$\mathrm{K}$}$である．
(3) $\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n}$は$n,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いてどのように表されるかを求めなさい．
(4) 線分$\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n$の長さに関する不等式 \[ 0.666666<\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \] を満たす最小の自然数$n$は$\fbox{$\mathrm{L}$}$である．ただし，$\log_{2}10=3.3219$とする．
辺$\mathrm{AB}$の長さが$1$の$\triangle \mathrm{OAB}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$で表す．$n$を自然数とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AM}$の中点を$\mathrm{X}_1$，線分$\mathrm{AX}_1$の中点を$\mathrm{X}_2$，$\cdots$，線分$\mathrm{AX}_n$の中点を$\mathrm{X}_{n+1}$，$\cdots$とする．また，$\triangle \mathrm{OAX}_1$の重心を$\mathrm{P}_1$，$\triangle \mathrm{OAX}_2$の重心を$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\triangle \mathrm{OAX}_n$の重心を$\mathrm{P}_n$，$\cdots$とする．同様に線分$\mathrm{BM}$の中点を$\mathrm{Y}_1$，線分$\mathrm{BY}_1$の中点を$\mathrm{Y}_2$，$\cdots$，線分$\mathrm{BY}_n$の中点を$\mathrm{Y}_{n+1}$，$\cdots$とし，$\triangle \mathrm{OBY}_1$の重心を$\mathrm{Q}_1$，$\triangle \mathrm{OBY}_2$の重心を$\mathrm{Q}_2$，$\cdots$，$\triangle \mathrm{OBY}_n$の重心を$\mathrm{Q}_n$，$\cdots$とする．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OX}_1}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OX}_1}=\fbox{$\mathrm{I}$}$，$\overrightarrow{\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1}=\fbox{$\mathrm{J}$}$である．
(2) 線分$\mathrm{AX}_n$の長さを$n$を用いて表すと，$\mathrm{AX}_n=\fbox{$\mathrm{K}$}$である．
(3) $\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n}$は$n,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いてどのように表されるかを求めなさい．
(4) 線分$\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n$の長さに関する不等式 \[ 0.666666<\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \] を満たす最小の自然数$n$は$\fbox{$\mathrm{L}$}$である．ただし，$\log_{2}10=3.3219$とする．
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