大阪市立大学
2015年 理系 第4問
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$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 1)$が与えられている．線分$\mathrm{OC}$を$1$つの対角線とし，線分$\mathrm{AB}$を一辺とする立方体を直線$\mathrm{OC}$の周りに回転して得られる回転体$K$の体積を求めたい．次の問いに答えよ．
(1) 点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ p) \ \ (0<p \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{H}$の座標と線分$\mathrm{PH}$の長さを求めよ．
(2) 点$\mathrm{Q}(q,\ 0,\ 1) \ \ (0 \leqq q \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{I}$の座標と線分$\mathrm{QI}$の長さを求めよ．
(3) 原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{C}$方向へ線分$\mathrm{OC}$上を距離$u \ \ (0 \leqq u \leqq \sqrt{3})$だけ進んだ点を$\mathrm{U}$とする．点$\mathrm{U}$を通り直線$\mathrm{OC}$に垂直な平面で$K$を切ったときの切り口の円の半径$r$を$u$の関数として表せ．
(4) $K$の体積を求めよ．
(1) 点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ p) \ \ (0<p \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{H}$の座標と線分$\mathrm{PH}$の長さを求めよ．
(2) 点$\mathrm{Q}(q,\ 0,\ 1) \ \ (0 \leqq q \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{I}$の座標と線分$\mathrm{QI}$の長さを求めよ．
(3) 原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{C}$方向へ線分$\mathrm{OC}$上を距離$u \ \ (0 \leqq u \leqq \sqrt{3})$だけ進んだ点を$\mathrm{U}$とする．点$\mathrm{U}$を通り直線$\mathrm{OC}$に垂直な平面で$K$を切ったときの切り口の円の半径$r$を$u$の関数として表せ．
(4) $K$の体積を求めよ．
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コメント（2件）
2015-08-05 07:31:54
作りました。立方体を対角線を軸に回転させたときの体積。切断面がどんな風になるか考えるのが非常に難しいです。図形の性質が分かって誘導に乗れれば、なんとかなりそうです。計算自体はそれほどでもありません。当日の受験生の正答率を想像して、難易度は難としました。(1)(2)は落せません。 |
2015-07-27 14:20:30
解答作成中。 |
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