大阪府立大学
2014年 文系 第3問
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$a,\ b$を定数とし，$2$次の正方行列$A,\ X,\ Y$は
\[ A=aX+bY,\quad X+Y=E,\quad XY=O \]
をみたすとする．ここで，$E$と$O$はそれぞれ$2$次の単位行列と零行列を表す．このとき，$X+Y=E$の両辺に左から$X$を掛けると$X^2=X$が成り立つことがわかる．
(1) $Y^2=Y,\ YX=O$が成り立つことを示せ．
(2) $A$が$E$の定数倍ではないとき，$A-aE$と$A-bE$はともに逆行列をもたないことを示せ．
(3) $A=\left( \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 6 & 3 \end{array} \right)$のとき，$a,\ b \ \ (a<b)$および$X,\ Y$を求めよ．
(1) $Y^2=Y,\ YX=O$が成り立つことを示せ．
(2) $A$が$E$の定数倍ではないとき，$A-aE$と$A-bE$はともに逆行列をもたないことを示せ．
(3) $A=\left( \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 6 & 3 \end{array} \right)$のとき，$a,\ b \ \ (a<b)$および$X,\ Y$を求めよ．
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