大阪大学
2010年 理系 第1問
1
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関数
\[ f(x) = 2\log(1+e^x)-x-\log 2 \]
を考える．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底とする．
(1) $f(x)$の第2次導関数を$f^{\,\prime\prime}(x)$とする．等式 \[ \log f^{\,\prime\prime}(x) = -f(x) \] が成り立つことを示せ．
(2) 定積分$\displaystyle \int_0^{\log 2} (x-\log 2)e^{-f(x)}\, dx$を求めよ．
(1) $f(x)$の第2次導関数を$f^{\,\prime\prime}(x)$とする．等式 \[ \log f^{\,\prime\prime}(x) = -f(x) \] が成り立つことを示せ．
(2) 定積分$\displaystyle \int_0^{\log 2} (x-\log 2)e^{-f(x)}\, dx$を求めよ．
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