$1$以上$6$以下の$2$つの整数$a,\ b$に対し，関数$f_n(x) \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次の条件（ア），（イ），（ウ）で定める．
（ア） \ \ $f_1(x)=\sin (\pi x)$
（イ） \ \ $\displaystyle f_{2n}(x)=f_{2n-1} \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}-x \right) \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
（ウ） \ \ $f_{2n+1}(x)=f_{2n}(-x) \qquad \qquad \qquad \ \ \ \,\!(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
以下の問いに答えよ．
(1) $a=2,\ b=3$のとき，$f_5(0)$を求めよ．
(2) $a=1,\ b=6$のとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} (-1)^k f_{2k}(0)$を求めよ．
(3) $1$個のさいころを$2$回投げて，$1$回目に出る目を$a$，$2$回目に出る目を$b$とするとき，$f_6(0)=0$となる確率を求めよ．