行列$A=\left( \begin{array}{cc} a & -b \\ b & a \end{array} \right)$で定まる座標平面上の$1$次変換を$f$とする．ただし，$a,\ b$は実数とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) 原点$\mathrm{O}$とは異なる点$\mathrm{P}(x,\ y)$を$f$で移した点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，長さの比の値$\displaystyle \frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OP}}$は$\mathrm{P}$によらないことを示し，その値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2) 正の整数$n$に対して，$A^n=\left( \begin{array}{cc} p_n & q_n \\ r_n & s_n \end{array} \right)$とするとき， \[ p_n^2+r_n^2=(a^2+b^2)^n,\quad q_n^2+s_n^2=(a^2+b^2)^n \] が成り立つことを示せ．
(3) $109^2=l^2+m^2$を満たす正の整数$l,\ m$を一組求めよ．