大分大学
2012年 工学部 第4問
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$\displaystyle I_1=\int_0^3 \sqrt{x^2+9} \, dx,\ \ I_2=\int_0^3 \frac{dx}{\sqrt{x^2+9}}$とする．
(1) 次の等式がすべての実数$x$について成り立つように，定数$a,\ b$の値を定めなさい． \[ \frac{x^2}{\sqrt{x^2+9}}=a\sqrt{x^2+9}+\frac{b}{\sqrt{x^2+9}} \]
(2) $I_1$において部分積分することにより，$I_1$を$I_2$で表しなさい．
(3) $\log (x+\sqrt{x^2+9})$の導関数を利用して，$I_2$を求めなさい．
(4) 曲線$x^2-y^2=-9$と直線$y=3\sqrt{2}$で囲まれた部分の面積$S$を求めなさい．
(1) 次の等式がすべての実数$x$について成り立つように，定数$a,\ b$の値を定めなさい． \[ \frac{x^2}{\sqrt{x^2+9}}=a\sqrt{x^2+9}+\frac{b}{\sqrt{x^2+9}} \]
(2) $I_1$において部分積分することにより，$I_1$を$I_2$で表しなさい．
(3) $\log (x+\sqrt{x^2+9})$の導関数を利用して，$I_2$を求めなさい．
(4) 曲線$x^2-y^2=-9$と直線$y=3\sqrt{2}$で囲まれた部分の面積$S$を求めなさい．
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