富山大学
2014年 医学部 第1問
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自然数$n$に対して，$\displaystyle f_n(x)=\int_0^x \frac{dt}{(t^2+1)^n}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $f_1(1)$を求めよ．
(2) $\displaystyle g(x)=f_1 \left( \frac{1}{x} \right)$とおく．$g^\prime(x)$を求め，$x>0$のとき \[ f_1(x)+g(x)=\frac{\pi}{2} \] が成り立つことを示せ．
(3) $\displaystyle \lim_{x \to \infty}f_1(x)$を求めよ．
(4) 部分積分法を用いて， \[ f_n(x)=\frac{x}{(x^2+1)^n}+2nf_n(x)-2nf_{n+1}(x) \] が成り立つことを示せ．
(5) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f_n(x)=\frac{\comb{2n-3}{n-1}}{{2}^{2n-2}} \pi \ \ (n \geqq 2)$であることを示せ．ただし，$\displaystyle \comb{m}{k}=\frac{m!}{(m-k)!k!}$とする．
(1) $f_1(1)$を求めよ．
(2) $\displaystyle g(x)=f_1 \left( \frac{1}{x} \right)$とおく．$g^\prime(x)$を求め，$x>0$のとき \[ f_1(x)+g(x)=\frac{\pi}{2} \] が成り立つことを示せ．
(3) $\displaystyle \lim_{x \to \infty}f_1(x)$を求めよ．
(4) 部分積分法を用いて， \[ f_n(x)=\frac{x}{(x^2+1)^n}+2nf_n(x)-2nf_{n+1}(x) \] が成り立つことを示せ．
(5) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f_n(x)=\frac{\comb{2n-3}{n-1}}{{2}^{2n-2}} \pi \ \ (n \geqq 2)$であることを示せ．ただし，$\displaystyle \comb{m}{k}=\frac{m!}{(m-k)!k!}$とする．
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