$\fbox{}$の中に答を入れよ．
(1) $3$つの行列$A=\left( \begin{array}{cc} 5 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{rr} 1 & -3 \\ -2 & 5 \end{array} \right)$，$C=\left( \begin{array}{rr} 2 & -3 \\ -4 & 5 \end{array} \right)$がある．$A$の逆行列$A^{-1}$を求めると，$A^{-1}=\fbox{ア}$である．$B^2A^3CA$を求めると，$B^2A^3CA=\fbox{イ}$である．
(2) $k>1$とする．$2$次方程式$kx^2+(1-2k)x-2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$2$次方程式$x^2-2(k+1)x+4k=0$の解の$1$つは$\beta$であり，もう$1$つの解を$\gamma$とする．このとき，$\beta$を求めると$\beta=\fbox{ウ}$である．さらに，$\beta-\alpha=\gamma-\beta$が成り立つとき，$k$の値を求めると$k=\fbox{エ}$である．
(3) $y=e^x+e^{-x}$とする．$y=3$のとき，$\displaystyle e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}$の値は$\displaystyle e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}=\fbox{オ}$である．また，$y=4$のとき，$x=\fbox{カ}$である．
(4) 原点$\mathrm{O}$からの距離と点$\mathrm{A}(1,\ 1)$からの距離の比が$\sqrt{2}:1$である点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡は方程式$\fbox{キ}$で与えられる．この図形上の点$\mathrm{Q}(s,\ t)$における接線の傾きが$2$であるとき，$\mathrm{Q}$の座標は$(s,\ t)=\fbox{ク}$である．
(5) 区別できない$9$個の球を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$4$つの箱のいずれかに入れる．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$に入れた球の個数をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とし，$X=1000a+100b+10c+d$とする．$X$のとりうる値を小さい順に並べたときに$31$番目にくる値を求めると$\fbox{ケ}$であり，$X$が$4$桁の数となる球の入れ方は$\fbox{コ}$通りある．