名古屋工業大学
2015年 工学部 第3問
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![次の\tocichi，\tocniに答えよ．\mon[\tocichi]次の5つの定積分を求めよ．（\tocni(4)で用いる．）I_1=∫_0^πxsinxdx,I_2=∫_0^πx^2cosxdx,I_3=∫_0^πsin^2xdxI_4=∫_0^πxcosxsinxdx,I_5=∫_0^πsin^2xcosxdx\mon[\tocni]関数y=sinxのグラフを曲線Cとする．C上の点O(0,0)における接線をℓ_1，点A(π,0)における接線をℓ_2とする．ℓ_1とℓ_2の交点をB，C上の点P(t,sint)(0≦t≦π)からℓ_1に下ろした垂線をPQとする．ただし，t=0のときはQ=Pとする．OQ=sとおく．\mon[(1)]∠OBAの大きさを求めよ．\mon[(2)]sをtを用いて表せ．\mon[(3)]線分PQの長さをtを用いて表せ．\mon[(4)]曲線Cと2直線ℓ_1，ℓ_2で囲まれた部分を，直線ℓ_1の周りに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ．](./thumb/412/2575/2015_3.png)
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次の$\tocichi$，$\tocni$に答えよ．
[$\tocichi$] 次の$5$つの定積分を求めよ．（$\tocni \ (4)$で用いる．）
$\displaystyle I_1=\int_0^\pi x \sin x \, dx,\quad I_2=\int_0^\pi x^2 \cos x \, dx,\quad I_3=\int_0^\pi \sin^2 x \, dx$
$\displaystyle I_4=\int_0^\pi x \cos x \sin x \, dx,\quad I_5=\int_0^\pi \sin^2 x \cos x \, dx$
[$\tocni$] 関数$y=\sin x$のグラフを曲線$C$とする．$C$上の点$\mathrm{O}(0,\ 0)$における接線を$\ell_1$，点$\mathrm{A}(\pi,\ 0)$における接線を$\ell_2$とする．
$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{B}$，$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ \sin t) \ \ (0 \leqq t \leqq \pi)$から$\ell_1$に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とする．ただし，$t=0$のときは$\mathrm{Q}=\mathrm{P}$とする．$\mathrm{OQ}=s$とおく．
[$(1)$] $\angle \mathrm{OBA}$の大きさを求めよ． [$(2)$] $s$を$t$を用いて表せ． [$(3)$] 線分$\mathrm{PQ}$の長さを$t$を用いて表せ． [$(4)$] 曲線$C$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$で囲まれた部分を，直線$\ell_1$の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
[$\tocichi$] 次の$5$つの定積分を求めよ．（$\tocni \ (4)$で用いる．）
$\displaystyle I_1=\int_0^\pi x \sin x \, dx,\quad I_2=\int_0^\pi x^2 \cos x \, dx,\quad I_3=\int_0^\pi \sin^2 x \, dx$
$\displaystyle I_4=\int_0^\pi x \cos x \sin x \, dx,\quad I_5=\int_0^\pi \sin^2 x \cos x \, dx$
[$\tocni$] 関数$y=\sin x$のグラフを曲線$C$とする．$C$上の点$\mathrm{O}(0,\ 0)$における接線を$\ell_1$，点$\mathrm{A}(\pi,\ 0)$における接線を$\ell_2$とする．
$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{B}$，$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ \sin t) \ \ (0 \leqq t \leqq \pi)$から$\ell_1$に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とする．ただし，$t=0$のときは$\mathrm{Q}=\mathrm{P}$とする．$\mathrm{OQ}=s$とおく．
[$(1)$] $\angle \mathrm{OBA}$の大きさを求めよ． [$(2)$] $s$を$t$を用いて表せ． [$(3)$] 線分$\mathrm{PQ}$の長さを$t$を用いて表せ． [$(4)$] 曲線$C$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$で囲まれた部分を，直線$\ell_1$の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
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