座標平面上の円$C:x^2+(y-1)^2=1$と，$x$軸上の$2$点$\mathrm{P}(-a,\ 0)$，$\mathrm{Q}(b,\ 0)$を考える．ただし，$a>0$，$b>0$，$ab \neq 1$とする．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$のそれぞれから$C$に$x$軸とは異なる接線を引き，その$2$つの接線の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1) 直線$\mathrm{QR}$の方程式を求めよ．
(2) $\mathrm{R}$の座標を$a,\ b$で表せ．
(3) $\mathrm{R}$の$y$座標が正であるとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の周の長さを$T$とする．$T$を$a,\ b$で表せ．
(4) $2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が，条件「$\mathrm{PQ}=4$であり，$\mathrm{R}$の$y$座標は正である」を満たしながら動くとき，$T$を最小とする$a$の値とそのときの$T$の値を求めよ．