武庫川女子大学
2014年 生活環境（建築） 第3問
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![次の空欄[38]～[60]にあてはまる数字を入れよ．原点をOとする座標平面上に4点A(0,1)，B(1,0)，C(0,-1)，D(cosθ,0)がある．ただし0＜θ＜π/2とする．このとき，(1)△ABDの面積は\frac{[38]-cosθ}{[39]}2点B，Cを通る直線ℓ_1の方程式はy=x-[40]2点A，Dを通る直線ℓ_2の方程式はy=-\frac{x}{cosθ}+[41]ℓ_1とℓ_2の交点をEとすると，Eの座標は(\frac{[42]cosθ}{[43]+cosθ},\frac{-[44]+cosθ}{[45]+cosθ})である．(2)∠ADO=∠BDFをみたす点Fを線分AB上にとると，Fの座標は(\frac{[46]cosθ}{[47]+cosθ},\frac{[48]-cosθ}{[49]+cosθ})△ADFの面積をSとおくと，S=[50]-cosθ-\frac{[51]}{[52]+cosθ}相加平均と相乗平均の関係より，[52]+cosθ+\frac{[51]}{[52]+cosθ}≧[53]\sqrt{[54]}この等号はcosθ=-[55]+\sqrt{[56]}のとき成立する．よって[57]＜S≦[58]-[59]\sqrt{[60]}である．](./thumb/593/3187/2014_3.png)
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次の空欄$\fbox{$38$}$～$\fbox{$60$}$にあてはまる数字を入れよ．
原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$4$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ -1)$，$\mathrm{D}(\cos \theta,\ 0)$がある．ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，
(1) $\triangle \mathrm{ABD}$の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{$38$}-\cos \theta}{\fbox{$39$}}$
$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る直線$\ell_1$の方程式は \[ y=x-\fbox{$40$} \] $2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$を通る直線$\ell_2$の方程式は \[ y=-\frac{x}{\cos \theta}+\fbox{$41$} \] $\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{E}$とすると，$\mathrm{E}$の座標は \[ \left( \frac{\fbox{$42$} \cos \theta}{\fbox{$43$}+\cos \theta},\ \frac{-\fbox{$44$}+\cos \theta}{\fbox{$45$}+\cos \theta} \right) \] である．
(2) $\angle \mathrm{ADO}=\angle \mathrm{BDF}$をみたす点$\mathrm{F}$を線分$\mathrm{AB}$上にとると，$\mathrm{F}$の座標は \[ \left( \frac{\fbox{$46$} \cos \theta}{\fbox{$47$}+\cos \theta},\ \frac{\fbox{$48$}-\cos \theta}{\fbox{$49$}+\cos \theta} \right) \] $\triangle \mathrm{ADF}$の面積を$S$とおくと， \[ S=\fbox{$50$}-\cos \theta-\frac{\fbox{$51$}}{\fbox{$52$}+\cos \theta} \] 相加平均と相乗平均の関係より， \[ \fbox{$52$}+\cos \theta+\frac{\fbox{$51$}}{\fbox{$52$}+\cos \theta} \geqq \fbox{$53$} \sqrt{$\fbox{$54$}$} \] この等号は$\cos \theta=-\fbox{$55$}+\sqrt{\fbox{$56$}}$のとき成立する．よって \[ \fbox{$57$}<S \leqq \fbox{$58$}-\fbox{$59$} \sqrt{\fbox{$60$}} \] である．
原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$4$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ -1)$，$\mathrm{D}(\cos \theta,\ 0)$がある．ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，
(1) $\triangle \mathrm{ABD}$の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{$38$}-\cos \theta}{\fbox{$39$}}$
$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る直線$\ell_1$の方程式は \[ y=x-\fbox{$40$} \] $2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$を通る直線$\ell_2$の方程式は \[ y=-\frac{x}{\cos \theta}+\fbox{$41$} \] $\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{E}$とすると，$\mathrm{E}$の座標は \[ \left( \frac{\fbox{$42$} \cos \theta}{\fbox{$43$}+\cos \theta},\ \frac{-\fbox{$44$}+\cos \theta}{\fbox{$45$}+\cos \theta} \right) \] である．
(2) $\angle \mathrm{ADO}=\angle \mathrm{BDF}$をみたす点$\mathrm{F}$を線分$\mathrm{AB}$上にとると，$\mathrm{F}$の座標は \[ \left( \frac{\fbox{$46$} \cos \theta}{\fbox{$47$}+\cos \theta},\ \frac{\fbox{$48$}-\cos \theta}{\fbox{$49$}+\cos \theta} \right) \] $\triangle \mathrm{ADF}$の面積を$S$とおくと， \[ S=\fbox{$50$}-\cos \theta-\frac{\fbox{$51$}}{\fbox{$52$}+\cos \theta} \] 相加平均と相乗平均の関係より， \[ \fbox{$52$}+\cos \theta+\frac{\fbox{$51$}}{\fbox{$52$}+\cos \theta} \geqq \fbox{$53$} \sqrt{$\fbox{$54$}$} \] この等号は$\cos \theta=-\fbox{$55$}+\sqrt{\fbox{$56$}}$のとき成立する．よって \[ \fbox{$57$}<S \leqq \fbox{$58$}-\fbox{$59$} \sqrt{\fbox{$60$}} \] である．
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