宮崎大学
2014年 工学部 第3問
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下図の平行六面体において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とし，$\triangle \mathrm{ACD}$と線分$\mathrm{OF}$の交点を$\mathrm{H}$とする．さらに，四面体$\mathrm{OACD}$が$1$辺の長さ$1$の正四面体であるとする．このとき，次の各問に答えよ．
\imgc{735_3044_2014_1}
(1) $\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し，$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ．
(2) 内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ．
(3) $\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ．
(1) $\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し，$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ．
(2) 内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ．
(3) $\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ．
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