座標平面上において，点A$(0,\ 1)$を中心とし原点Oを通る円$C_1$について，点B$(0,\ -1)$から引いた2本の接線の接点をP，Qとする．ただし，点Pの$x$座標は正とする．さらに，$y$軸に関して対称な放物線$C_2$が直線BPと直線BQにそれぞれ点Pと点Qで接するものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1) 2点P，Qの座標を求めよ．
(2) 放物線$C_2$を表す方程式を求めよ．
(3) 点Aから放物線$C_2$上の各点までの距離は1以上であることを示せ．
(4) 円$C_1$の原点Oを含む弧PQと放物線$C_2$で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．