宮城教育大学
2010年 教育学部（中等数学） 第3問
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座標平面上に点$\mathrm{B}_n(b_n,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{C}_n \left( \frac{b_n+b_{n+1}}{2},\ \frac{1}{2^{n-1}} \right) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$がある．ただし，$b_n \leqq b_{n+1}$である．$2$点$\mathrm{B}_n$，$\mathrm{B}_{n+1}$間の距離を$\mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1}$で表すとき，$\displaystyle \mathrm{B}_{n+1} \mathrm{B}_{n+2}=\frac{1}{2} \mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1}$が成立している．$b_1=0,\ b_2=1$のとき，次の問いに答えよ．
(1) $d_n=\mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1}$とおくとき，$d_n$を$n$を用いて表せ．
(2) $b_n$を$n$を用いて表せ．
(3) 点$\mathrm{C}_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は同一直線上にあることを示せ．
(4) $\log_{10}2=0.3010$として，$b_n<1.99$をみたす最大の自然数$n$を求めよ．
(1) $d_n=\mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1}$とおくとき，$d_n$を$n$を用いて表せ．
(2) $b_n$を$n$を用いて表せ．
(3) 点$\mathrm{C}_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は同一直線上にあることを示せ．
(4) $\log_{10}2=0.3010$として，$b_n<1.99$をみたす最大の自然数$n$を求めよ．
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