空間内に$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$と点$\mathrm{O}$があり， \[ |\overrightarrow{\mathrm{AO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{CO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{DO}}| \] を満たしている．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1) 空間内の点$\mathrm{P}$について，$l,\ m,\ n$を実数とし， \[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=l \overrightarrow{b}+m \overrightarrow{c}+n \overrightarrow{d} \] とする．このとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2$をそれぞれ$l,\ m,\ n$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2$であるための必要十分条件を$l,\ m,\ n$を用いて表せ．
(2) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})$であることを示せ．
(3) 線分$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を通る平面と直線$\mathrm{EO}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．