$2$つの放物線 \[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=x^2-2ax+2a^2 \] を考える．ただし，$a>0$とする．以下の問いに答えよ．
(1) 放物線$C_2$の頂点の座標を$a$を用いて表せ．
(2) $2$つの放物線$C_1$，$C_2$の共通接線を$\ell$とし，$C_1$と$\ell$との接点の$x$座標を$p$，$C_2$と$\ell$との接点の$x$座標を$q$とする．$p$と$q$の値および$\ell$の方程式を，それぞれ$a$を用いて表せ．
(3) 放物線$C_1$，$C_2$および接線$\ell$によって囲まれた図形の面積を$S_1$とする．$S_1$を$a$を用いて表せ．
(4) 点$\displaystyle \left( -\frac{a}{2},\ \frac{a^2}{4} \right)$における$C_1$の接線を$m$とする．このとき，$m$の方程式を$a$を用いて表せ．また，$m$と接線$\ell$との交点の$x$座標を求めよ．
(5) 放物線$C_1$および接線$\ell$，$m$によって囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_2$を$a$を用いて表せ．さらに，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ．