九州工業大学
2014年 情報工学部 第1問
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放物線$C:y=ax^2+bx+c \ \ (a>0)$を考える．$2$本の直線
\[ \ell_1:y=\frac{5}{2}x \quad \text{および} \quad \ell_2:y=-\frac{1}{2}x \]
は$C$に接するものとする．$C$と$\ell_1$の接点を$\mathrm{P}$，$C$と$\ell_2$の接点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えよ．
(1) $\alpha,\ \beta,\ \gamma \ \ (\alpha \neq 0)$を定数とするとき，$2$次方程式$\alpha x^2+\beta x+\gamma=0$が重解を持つための条件を求めよ．
(2) $b$の値を求めよ．また，$c$を$a$を用いて表せ．
(3) $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$a$を用いて表せ．
(4) $a$の値にかかわらず$C$の頂点は直線$m$上にある．$m$の方程式を求めよ．
(5) $C$と$\ell_1$，$\ell_2$で囲まれた部分の面積を$a$を用いて表せ．
(1) $\alpha,\ \beta,\ \gamma \ \ (\alpha \neq 0)$を定数とするとき，$2$次方程式$\alpha x^2+\beta x+\gamma=0$が重解を持つための条件を求めよ．
(2) $b$の値を求めよ．また，$c$を$a$を用いて表せ．
(3) $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$a$を用いて表せ．
(4) $a$の値にかかわらず$C$の頂点は直線$m$上にある．$m$の方程式を求めよ．
(5) $C$と$\ell_1$，$\ell_2$で囲まれた部分の面積を$a$を用いて表せ．
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