次の空欄$\fbox{ア}$から$\fbox{キ}$に当てはまるものを答えよ．ただし，自然数とは$1$以上の整数のことである．
行列$A,\ B,\ E$を$A=\left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)$，$E=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$とする．
$M_0=E$とし，さいころをふって偶数が出れば$A$を左からかけ，奇数が出れば$B$を左からかける操作を$n$回繰り返すことにより行列$M_n$を定める．つまり， \begin{itemize}
$n$回目に偶数が出たら$M_n=AM_{n-1}$，
$n$回目に奇数が出たら$M_n=BM_{n-1}$ \end{itemize} と順々に$M_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を定める．$M_n=A$となる確率を$p_n$とする．
(1) $p_1=\fbox{ア}$である．
(2) $A^a=E$をみたす最小の自然数$a$は$\fbox{イ}$である．$B^b=E$をみたす最小の自然数$b$は$\fbox{ウ}$である．$BA=AB^c$をみたす最小の自然数$c$は$\fbox{エ}$である．
(3) $M_0,\ M_1,\ M_2,\ \cdots$の中で相異なる行列は最大$\fbox{オ}$個である．
(4) $n$が偶数のときは$p_n=\fbox{カ}$であり，$n$が$3$以上の奇数のときは$p_n=\fbox{キ}$である．