原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2)$，$\mathrm{C}(-2,\ 0)$をとる．さらに，点$\mathrm{P}$は$x$軸上を$\mathrm{A}$から$\mathrm{O}$まで動き，点$\mathrm{Q}$は$\mathrm{PQ}=2$を満たしながら，$y$軸上を$\mathrm{O}$から$\mathrm{B}$まで動くとする．線分$\mathrm{PQ}$が通過する領域を$D$とする．$\angle \mathrm{QPC}=\theta$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1) $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，直線$\mathrm{PQ}$の傾きと$y$切片を$\theta$を用いて表せ．
(2) $k$を$0<k<2$を満たす定数とする．$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から$(k,\ 0)$まで動くときに線分$\mathrm{PQ}$と直線$x=k$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$の$y$座標が最大となる$\theta$を$\alpha$とするとき，$k$と$\alpha$の間で成り立つ関係式を求めよ．またその最大値を$k$を用いずに$\alpha$のみを用いて表せ．
(3) 領域$D$は，曲線 \[ y=f(x) \quad (0 \leqq x \leqq 2) \] および$x$軸，$y$軸で囲まれる領域となる．$f(x)$を求めよ．
(4) 領域$D$の面積を求めよ．