明治大学
2015年 総合数理 第3問
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![自然数aの正の約数の中でa以外のものの和がaに等しいとき，aを完全数という．以下の問いに答えよ．(1)次の[]にあてはまるものを記入せよ．28の正の約数の中で28以外のものをすべて書きあげると[]であるから，28は完全数である．(2)自然数nと素数pに対して，2^{n-1}pのすべての正の約数の和をnとpで表せ．ただしp≠2とする．(3)nは2^n-1が素数であるような自然数とする．このとき，2^{n-1}(2^n-1)が完全数であることを示せ．(4)aが偶数で完全数ならば，ある自然数nに対してa=2^{n-1}(2^n-1)と表されることを示せ．](./thumb/294/3240/2015_3.png)
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自然数$a$の正の約数の中で$a$以外のものの和が$a$に等しいとき，$a$を完全数という．以下の問いに答えよ．
(1) 次の$\fbox{}$にあてはまるものを記入せよ．
$28$の正の約数の中で$28$以外のものをすべて書きあげると$\fbox{}$であるから，$28$は完全数である．
(2) 自然数$n$と素数$p$に対して，$2^{n-1}p$のすべての正の約数の和を$n$と$p$で表せ．ただし$p \neq 2$とする．
(3) $n$は$2^n-1$が素数であるような自然数とする．このとき，$2^{n-1}(2^n-1)$が完全数であることを示せ．
(4) $a$が偶数で完全数ならば，ある自然数$n$に対して$a=2^{n-1}(2^n-1)$と表されることを示せ．
(1) 次の$\fbox{}$にあてはまるものを記入せよ．
$28$の正の約数の中で$28$以外のものをすべて書きあげると$\fbox{}$であるから，$28$は完全数である．
(2) 自然数$n$と素数$p$に対して，$2^{n-1}p$のすべての正の約数の和を$n$と$p$で表せ．ただし$p \neq 2$とする．
(3) $n$は$2^n-1$が素数であるような自然数とする．このとき，$2^{n-1}(2^n-1)$が完全数であることを示せ．
(4) $a$が偶数で完全数ならば，ある自然数$n$に対して$a=2^{n-1}(2^n-1)$と表されることを示せ．
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