空欄$\fbox{オ}$，$\fbox{カ}$，$\fbox{キ}$に当てはまるものを解答群の中から選び，それ以外の空欄には，当てはまる$0$から$9$までの数字を入れよ．
座標平面上に$3$つの放物線$C_1:y=x^2$，$C_2:y=-x^2-8x-8$，$C_3:y=-x^2+ax+b$がある．$C_1$と$C_3$は$t>0$の範囲にただ$1$つの共有点$(t,\ t^2)$を持ち，直線$\ell$は点$\mathrm{P}$で$C_2$に接し，なおかつ点$\mathrm{Q}$で$C_3$に接しているとする．次の問に答えよ．
(1) $C_1$と$C_2$の共有点は$\displaystyle \left( -\fbox{ア},\ \fbox{イ} \right)$である．また，$C_1$と$C_3$もただ$1$つの共有点を持つことから$a=\fbox{ウ}t$，$b=-\fbox{エ}t^2$である．
(2) 点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha$，$\beta$とする．$\ell$は点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線および点$\mathrm{Q}$における$C_3$の接線に等しい．これら$2$つの接線の傾きおよび$y$軸との交点がともに等しいことから \[ \beta-\alpha=\fbox{オ},\quad \beta^2-\alpha^2=\fbox{カ} \] が成り立つ．したがって，$\beta+\alpha=\fbox{キ}$である．これより，直線$\ell$の方程式は \[ y=\left( t-\fbox{ク} \right) x+\frac{t^2+\fbox{ケコ}t+\fbox{サ}}{\fbox{シ}} \] である．
(3) $C_3$と$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S_1$，$C_1$と直線$\ell$によって囲まれる部分の面積を$S_2$とすると，
$\displaystyle S_1=\frac{\sqrt{\fbox{ス}}}{\fbox{セ}} \cdot \fbox{ソ}t^3$
$\displaystyle S_2=\frac{\sqrt{\fbox{ス}}}{\fbox{セ}} \cdot \left( t+\fbox{タ} \right)^3$
である．$S_1-S_2$は$\displaystyle t=\frac{\fbox{チ}+\fbox{ツ} \sqrt{\fbox{テ}}}{\fbox{ト}}$のときに最小値をとる．
オ，カ，キの解答群 \[ \begin{array}{lllll} \nagamarurei \ \ t+2 & \nagamaruichi \ \ t-2 & \nagamaruni \ \ 2t+4 & \nagamarusan \ \ t+\sqrt{2} & \nagamarushi \ \ t-\sqrt{2} \\ \nagamarugo \ \ t^2-2 & \nagamaruroku \ \ t^2-4 & \nagamarushichi \ \ t^2-8 & \nagamaruhachi \ \ 2t^2-4 & \nagamarukyu \ \ 2t^2-8 \end{array} \] \imgc{294_346_2011_1}