$s>0$，$t>0$とする．正の数からなる$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は初項と第$2$項が$a_1=b_1=s$，$a_2=b_2=t$であり，すべての自然数$n$に対して \[ a_{n+2}=\frac{a_{n+1}+a_n}{2},\quad b_{n+2}=\sqrt{b_{n+1}b_n} \] をみたすとする．次に答えよ．
(1) $a_3,\ b_3,\ a_4,\ b_4$を$s,\ t$を用いて表せ．
(2) 自然数$n$に対して，$c_n=a_{n+1}-a_n$とおく．数列$\{c_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．さらに，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3) 自然数$n$に対して，$d_n=\log b_n$とおく．数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．さらに，数列$\{b_n\}$の一般項を$s$の累乗と$t$の累乗を用いて表せ．ただし，対数は自然対数とする．
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$を求めよ．
(5) $t=s$は$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}b_n$であるための必要十分条件であることを示せ．