島根大学
2014年 総合理工（数理・情報システム） 第3問
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$a_1=2$とし，$f(x)=x^2-3$とする．曲線$y=f(x)$上の点$(a_1,\ f(a_1))$における接線が$x$軸と交わる点の$x$座標を$a_2$とする．以下同様に，$n=3,\ 4,\ \cdots$に対して，曲線$y=f(x)$上の点$(a_{n-1},\ f(a_{n-1}))$における接線が$x$軸と交わる点の$x$座標を$a_n$とする．数列$\{a_n\}$に対して，次の問いに答えよ．
(1) $a_2$を求めよ．
(2) $a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．
(3) $a_n \geqq \sqrt{3}$を示せ．
(4) $\displaystyle a_n-\sqrt{3} \leqq {\left( \frac{1}{2} \right)}^{n-1} (2-\sqrt{3})$を示し，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$を求めよ．
(1) $a_2$を求めよ．
(2) $a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．
(3) $a_n \geqq \sqrt{3}$を示せ．
(4) $\displaystyle a_n-\sqrt{3} \leqq {\left( \frac{1}{2} \right)}^{n-1} (2-\sqrt{3})$を示し，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$を求めよ．
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