一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$を考える．辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{CP}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．また，直線$\mathrm{OC}$上の点$\mathrm{R}$を$\overrightarrow{\mathrm{QR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OC}}$となるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$を求めよ．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RC}}$の大きさの比$|\overrightarrow{\mathrm{OR}}|:|\overrightarrow{\mathrm{RC}}|$を求めよ．
(3) $\triangle \mathrm{OQR}$の面積を求めよ．