九州大学
2016年 理系 第5問

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以下の問いに答えよ.(1)θを0≦θ<2πを満たす実数,iを虚数単位とし,zをz=cosθ+isinθで表される複素数とする.このとき,整数nに対して次の式を証明せよ.cosnθ=1/2(z^n+\frac{1}{z^n}),sinnθ=-i/2(z^n-\frac{1}{z^n})(2)次の方程式を満たす実数x(0≦x<2π)を求めよ.cosx+cos2x-cos3x=1(3)次の式を証明せよ.sin^2{20}°+sin^2{40}°+sin^2{60}°+sin^2{80}°=9/4
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以下の問いに答えよ.
(1) $\theta$を$0 \leqq \theta<2\pi$を満たす実数,$i$を虚数単位とし,$z$を$z=\cos \theta+i \sin \theta$で表される複素数とする.このとき,整数$n$に対して次の式を証明せよ. \[ \cos n\theta=\frac{1}{2} \left( z^n+\frac{1}{z^n} \right),\quad \sin n\theta=-\frac{i}{2} \left( z^n-\frac{1}{z^n} \right) \]
(2) 次の方程式を満たす実数$x \ \ (0 \leqq x<2\pi)$を求めよ. \[ \cos x+\cos 2x-\cos 3x=1 \]
(3) 次の式を証明せよ. \[ \sin^2 {20}^\circ+\sin^2 {40}^\circ+\sin^2 {60}^\circ+\sin^2 {80}^\circ=\frac{9}{4} \]
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詳細情報

大学(出題年) 九州大学(2016)
文理 理系
大問 5
単元 曲線と複素数平面(数学III)
タグ 証明不等号実数虚数単位三角比複素数整数分数方程式
難易度 3

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