九州大学
2016年 理系 第5問
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以下の問いに答えよ．
(1) $\theta$を$0 \leqq \theta<2\pi$を満たす実数，$i$を虚数単位とし，$z$を$z=\cos \theta+i \sin \theta$で表される複素数とする．このとき，整数$n$に対して次の式を証明せよ． \[ \cos n\theta=\frac{1}{2} \left( z^n+\frac{1}{z^n} \right),\quad \sin n\theta=-\frac{i}{2} \left( z^n-\frac{1}{z^n} \right) \]
(2) 次の方程式を満たす実数$x \ \ (0 \leqq x<2\pi)$を求めよ． \[ \cos x+\cos 2x-\cos 3x=1 \]
(3) 次の式を証明せよ． \[ \sin^2 {20}^\circ+\sin^2 {40}^\circ+\sin^2 {60}^\circ+\sin^2 {80}^\circ=\frac{9}{4} \]
(1) $\theta$を$0 \leqq \theta<2\pi$を満たす実数，$i$を虚数単位とし，$z$を$z=\cos \theta+i \sin \theta$で表される複素数とする．このとき，整数$n$に対して次の式を証明せよ． \[ \cos n\theta=\frac{1}{2} \left( z^n+\frac{1}{z^n} \right),\quad \sin n\theta=-\frac{i}{2} \left( z^n-\frac{1}{z^n} \right) \]
(2) 次の方程式を満たす実数$x \ \ (0 \leqq x<2\pi)$を求めよ． \[ \cos x+\cos 2x-\cos 3x=1 \]
(3) 次の式を証明せよ． \[ \sin^2 {20}^\circ+\sin^2 {40}^\circ+\sin^2 {60}^\circ+\sin^2 {80}^\circ=\frac{9}{4} \]
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