九州大学
2016年 理系 第3問
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座標平面上で円$x^2+y^2=1$に内接する正六角形で,点$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$を$1$つの頂点とするものを考える.この正六角形の頂点を$\mathrm{P}_0$から反時計まわりに順に$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_4$,$\mathrm{P}_5$とする.ある頂点に置かれている$1$枚のコインに対し,$1$つのサイコロを$1$回投げ,出た目に応じてコインを次の規則にしたがって頂点上を動かす.
\setlength{\leftskip}{16mm} [(規則)$\tokeiichi$] $1$から$5$までの目が出た場合は,出た目の数だけコインを反時計まわりに動かす.例えば,コインが$\mathrm{P}_4$にあるときに$4$の目が出た場合は$\mathrm{P}_2$まで動かす.
(ⅱ) $6$の目が出た場合は,$x$軸に関して対称な位置にコインを動かす.ただし,コインが$x$軸上にあるときは動かさない.例えば,コインが$\mathrm{P}_5$にあるときに$6$の目が出た場合は$\mathrm{P}_1$に動かす.
はじめにコインを$1$枚だけ$\mathrm{P}_0$に置き,$1$つのサイコロを続けて何回か投げて,$1$回投げるごとに上の規則にしたがってコインを動かしていくゲームを考える.以下の問いに答えよ.
(1) $2$回サイコロを投げた後に,コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ.
(2) $3$回サイコロを投げた後に,コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ.
(3) $n$を自然数とする.$n$回サイコロを投げた後に,コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ.
\setlength{\leftskip}{16mm} [(規則)$\tokeiichi$] $1$から$5$までの目が出た場合は,出た目の数だけコインを反時計まわりに動かす.例えば,コインが$\mathrm{P}_4$にあるときに$4$の目が出た場合は$\mathrm{P}_2$まで動かす.
(ⅱ) $6$の目が出た場合は,$x$軸に関して対称な位置にコインを動かす.ただし,コインが$x$軸上にあるときは動かさない.例えば,コインが$\mathrm{P}_5$にあるときに$6$の目が出た場合は$\mathrm{P}_1$に動かす.
はじめにコインを$1$枚だけ$\mathrm{P}_0$に置き,$1$つのサイコロを続けて何回か投げて,$1$回投げるごとに上の規則にしたがってコインを動かしていくゲームを考える.以下の問いに答えよ.
(1) $2$回サイコロを投げた後に,コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ.
(2) $3$回サイコロを投げた後に,コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ.
(3) $n$を自然数とする.$n$回サイコロを投げた後に,コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ.
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