大阪府立大学
2013年 文系 第2問
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次の式で定められる数列$\{a_n\}$について，以下の問いに答えよ．
\[ a_1=5,\quad a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{8}{a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(1) すべての自然数$n$に対して$a_n>4$が成り立つことを示せ．
(2) すべての自然数$n$に対して$a_{n+1}<a_n$が成り立つことを示せ．
(3) すべての自然数$n$に対して$\displaystyle a_n-4 \leqq \frac{1}{2^{n-1}}$が成り立つことを示せ．
(1) すべての自然数$n$に対して$a_n>4$が成り立つことを示せ．
(2) すべての自然数$n$に対して$a_{n+1}<a_n$が成り立つことを示せ．
(3) すべての自然数$n$に対して$\displaystyle a_n-4 \leqq \frac{1}{2^{n-1}}$が成り立つことを示せ．
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