$k$は$1$以上の整数であるとする．連続した整数が書かれた$2^k-1$枚のカードが$1$組あり，その中に無作為に選ばれた当たりが一枚だけ含まれているとする．次のようなルールで当たりのカードにたどりつくことを考える．
(ⅰ) カードのうち，ちょうど真ん中の整数の書かれたカードをひく．それが当たりなら終了する．
(ⅱ) ハズレならば，真ん中の整数より大きいカードの組と小さいカードの組に分ける．
(ⅲ) 当たりのカードの含まれた組を教えてもらい，その組に対して，$\tokeiichi$に戻って繰り返す．
このルールのもとで，ひいたカードの枚数の期待値を$E_k$とおく．このとき，次の問いに答えなさい．
(1) $E_1,\ E_2,\ E_3,\ E_4$を求めよ．
(2) $E_{k+1}$を$E_k$を用いて表せ．
(3) $\displaystyle d_k=E_k-\frac{1}{{2}^{k}}(E_k+1)$とおくとき，$d_k$のみたす漸化式を求めよ．
(4) $E_k$を求めよ．
(5) $\displaystyle \lim_{k \to \infty}(E_k-k)$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{k \to \infty} \frac{k}{{2}^{k}}=0$であることを用いてもよい．