行列$A=\left( \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -1 & 1 \end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．
(1) $A \left( \begin{array}{c} 1 \\ a \end{array} \right)=k \left( \begin{array}{c} 1 \\ a \end{array} \right)$を満たす実数$a,\ k$の値を求めよ．
(2) 行列$P=\left( \begin{array}{cc} 1 & p \\ q & 0 \end{array} \right)$が$AP=P \left( \begin{array}{cc} r & 1 \\ 0 & r \end{array} \right)$を満たすとき，実数$p,\ q,\ r$の値を求めよ．
(3) 自然数$n$に対して，行列$B=\left( \begin{array}{cc} \alpha & 1 \\ 0 & \alpha \end{array} \right)$の$n$個の積$B^n$が \[ B^n=\left( \begin{array}{cc} \alpha^n & n \alpha^{n-1} \\ 0 & \alpha^n \end{array} \right) \] となることを証明せよ．ただし，$\alpha$は$0$と異なる実数とする．
(4) 自然数$n$に対して，$A$の$n$個の積$A^n$を求めよ．
(5) 自然数$n$に対して，実数$x_n,\ y_n$を$A^n=x_nA+y_nE$を満たすように定めるとき，$x_n,\ y_n$を$n$を用いて表せ．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．