$a$を正の実数とする．座標平面上の曲線$C$を \[ y=x^4-2(a+1)x^3+3ax^2 \] で定める．曲線$C$が$2$つの変曲点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をもち，それらの$x$座標の差が$\sqrt{2}$であるとする．以下の問に答えよ．
(1) $a$の値を求めよ．
(2) 線分$\mathrm{PQ}$の中点と$x$座標が一致するような，$C$上の点を$\mathrm{R}$とする．三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
(3) 曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における接線が$\mathrm{P}$以外で$C$と交わる点を$\mathrm{P}^\prime$とし，点$\mathrm{Q}$における接線が$\mathrm{Q}$以外で$C$と交わる点を$\mathrm{Q}^\prime$とする．線分$\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime$の中点の$x$座標を求めよ．