神戸大学
2015年 理系 第4問
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$a,\ b$を実数とし，自然数$k$に対して$\displaystyle x_k=\frac{2ak+6b}{k(k+1)(k+3)}$とする．以下の問に答えよ．
(1) $\displaystyle x_k=\frac{p}{k}+\frac{q}{k+1}+\frac{r}{k+3}$がすべての自然数$k$について成り立つような実数$p,\ q,\ r$を，$a,\ b$を用いて表せ．
(2) $b=0$のとき，$3$以上の自然数$n$に対して$\displaystyle \sum_{k=1}^n x_k$を求めよ．
また，$a=0$のとき，$4$以上の自然数$n$に対して$\displaystyle \sum_{k=1}^n x_k$を求めよ．
(3) 無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty x_k$の和を求めよ．
(1) $\displaystyle x_k=\frac{p}{k}+\frac{q}{k+1}+\frac{r}{k+3}$がすべての自然数$k$について成り立つような実数$p,\ q,\ r$を，$a,\ b$を用いて表せ．
(2) $b=0$のとき，$3$以上の自然数$n$に対して$\displaystyle \sum_{k=1}^n x_k$を求めよ．
また，$a=0$のとき，$4$以上の自然数$n$に対して$\displaystyle \sum_{k=1}^n x_k$を求めよ．
(3) 無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty x_k$の和を求めよ．
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