上智大学
2015年 経済(経済),総合(教育,心理) 第3問
3
3
$a$を実数とするとき,座標平面において,円$C:x^2+y^2=20$および円$C_a:x^2+y^2+a(x+3y-10)=20$を考える.
(1) どのような$a$の値に対しても,$C_a$は$2$点$\mathrm{P} \left( \fbox{モ},\ \fbox{ヤ} \right)$,$\mathrm{Q} \left( \fbox{ユ},\ \fbox{ヨ} \right)$を必ず通る.ただし,$\fbox{モ}<\fbox{ユ}$とする.
(2) $C_a$の中心の座標は$\displaystyle \left( \frac{\fbox{ラ}}{\fbox{リ}}a,\ \frac{\fbox{ル}}{\fbox{レ}}a \right)$であり,$C_a$の半径を$r$とすると,$\displaystyle r^2=\frac{\fbox{ロ}}{\fbox{ワ}}(a^2+\fbox{ヲ}a+\fbox{ン})$である.
(3) $C_a$の半径$r$が最小となるのは,$a=\fbox{あ}$のときである.
(4) $C$の周および内部の領域を$D$,$C_a$の周および内部の領域を$D_a$とする.$a=\fbox{あ}$のとき$D$と$D_a$の共通部分の面積は$\fbox{い}\pi+\fbox{う}$である.
(5) $x$座標と$y$座標がともに整数の点を格子点とよぶ.$D$と$D_a$の共通部分に含まれる格子点の数を$n(a)$で表す.
(ⅰ) $a=-4$のとき,$n(a)=\fbox{え}$である.
(ⅱ) $n(a)$が最小値$\fbox{お}$をとるための必要十分条件は,$a<\fbox{か}$である.
(ⅲ) $12 \leqq n(a)<14$となる必要十分条件は,$\fbox{き} \leqq a<\fbox{く}$である.
(1) どのような$a$の値に対しても,$C_a$は$2$点$\mathrm{P} \left( \fbox{モ},\ \fbox{ヤ} \right)$,$\mathrm{Q} \left( \fbox{ユ},\ \fbox{ヨ} \right)$を必ず通る.ただし,$\fbox{モ}<\fbox{ユ}$とする.
(2) $C_a$の中心の座標は$\displaystyle \left( \frac{\fbox{ラ}}{\fbox{リ}}a,\ \frac{\fbox{ル}}{\fbox{レ}}a \right)$であり,$C_a$の半径を$r$とすると,$\displaystyle r^2=\frac{\fbox{ロ}}{\fbox{ワ}}(a^2+\fbox{ヲ}a+\fbox{ン})$である.
(3) $C_a$の半径$r$が最小となるのは,$a=\fbox{あ}$のときである.
(4) $C$の周および内部の領域を$D$,$C_a$の周および内部の領域を$D_a$とする.$a=\fbox{あ}$のとき$D$と$D_a$の共通部分の面積は$\fbox{い}\pi+\fbox{う}$である.
(5) $x$座標と$y$座標がともに整数の点を格子点とよぶ.$D$と$D_a$の共通部分に含まれる格子点の数を$n(a)$で表す.
(ⅰ) $a=-4$のとき,$n(a)=\fbox{え}$である.
(ⅱ) $n(a)$が最小値$\fbox{お}$をとるための必要十分条件は,$a<\fbox{か}$である.
(ⅲ) $12 \leqq n(a)<14$となる必要十分条件は,$\fbox{き} \leqq a<\fbox{く}$である.
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。