数列$\{a_n\}$の初項を$a \neq 0$とし，初項から第$n$項までの和を \[ S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n \] とする．また，数列$\{b_n\}$を \[ b_n=2a_n+\frac{3}{2}a-S_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] で定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 数列$\{b_n\}$の初項$b$を$a$を用いて表せ．
(2) 数列$\{a_n\}$が公比$\displaystyle \frac{1}{3}$の等比数列ならば，数列$\{b_n\}$も等比数列になることを示せ．
(3) 数列$\{b_n\}$が公比$\displaystyle \frac{1}{3}$の等比数列ならば，数列$\{a_n\}$も等比数列になることを示せ．