実数$a,\ b,\ \alpha$を定数とし，$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする．このとき， \[ \overrightarrow{d_n}=(\cos n \alpha,\ \sin n \alpha) \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] を座標平面上のベクトルとする．ベクトル$\overrightarrow{p_n}$を， \[ \overrightarrow{p_1}=\overrightarrow{d_1},\quad \overrightarrow{p_{n+1}}=a \overrightarrow{p_n}+b \overrightarrow{d_{n-1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] によって定める．$\overrightarrow{p_2}=\overrightarrow{d_2}$のとき次の問いに答えよ．
(1) $a,\ b$を求めよ．
(2) すべての自然数$n$に対し，$\overrightarrow{p_n}=\overrightarrow{d_n}$となることを示せ．