正四面体$\mathrm{OABC}$において辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{OC}$を$m:(1-m)$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．ただし，$m$は$0<m<1$を満たす実数の定数とする．$\mathrm{E}$から$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$の定める平面に垂線$\mathrm{EH}$を下ろし，直線$\mathrm{OH}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{I}$とする．三角形$\mathrm{ODE}$の面積は$\displaystyle \frac{9 \sqrt{3}}{4}$であり，四面体$\mathrm{ODEF}$の体積は正四面体$\mathrm{OABC}$の体積の$\displaystyle \frac{5}{54}$倍である．このとき，
(1) 正四面体$\mathrm{OABC}$の一辺の長さは$\fbox{$63$} \sqrt{\fbox{$64$}}$であり，体積は$\fbox{$65$}\fbox{$66$} \sqrt{\fbox{$67$}}$である．
(2) $\displaystyle m=\frac{\fbox{$68$}}{\fbox{$69$}}$である．
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を用いて表すと，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{\fbox{$70$}\fbox{$71$}}{\fbox{$72$}\fbox{$73$}} \overrightarrow{\mathrm{OD}}+\frac{\fbox{$74$}}{\fbox{$75$}\fbox{$76$}} \overrightarrow{\mathrm{OF}}$である．