鹿児島大学
2011年 医（医）・理（数理・物理・地環）・工・歯 第4問
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$f(x)$は数直線上の連続関数で，次の条件$\tokeiichi$と$\tokeini$をみたすものとする．
$\tokeiichi$ \ \ $f(x)$は周期1の周期関数，すなわち，すべての$x$で$f(x+1)=f(x)$が成り立つ．
$\tokeini$ \ \ $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=0$
次の各問いに答えよ．
(1) 条件$\tokeiichi$と$\tokeini$をみたす恒等的に$0$でない連続関数$f(x)$の例を$1$つ挙げよ．
(2) $\displaystyle F(x)=\int_0^x f(y) \, dy$とおくと，$F(x)$も周期$1$の周期関数であることを示せ．
(3) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$\displaystyle \frac{d}{dx}F(nx)$を$f$を用いて表せ．
(4) 数列$\{a_n\}$を \[ a_n=\int_0^1 xf(nx) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] と定める．$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0$を示せ．
$\tokeiichi$ \ \ $f(x)$は周期1の周期関数，すなわち，すべての$x$で$f(x+1)=f(x)$が成り立つ．
$\tokeini$ \ \ $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=0$
次の各問いに答えよ．
(1) 条件$\tokeiichi$と$\tokeini$をみたす恒等的に$0$でない連続関数$f(x)$の例を$1$つ挙げよ．
(2) $\displaystyle F(x)=\int_0^x f(y) \, dy$とおくと，$F(x)$も周期$1$の周期関数であることを示せ．
(3) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$\displaystyle \frac{d}{dx}F(nx)$を$f$を用いて表せ．
(4) 数列$\{a_n\}$を \[ a_n=\int_0^1 xf(nx) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] と定める．$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0$を示せ．
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コメント（1件）
2015-02-08 22:39:09
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