香川大学
2012年 医学部 第1問
1
1
$A=\biggl( \begin{array}{cc}
2 & -1 \\
1 & 4
\end{array} \biggr)$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1) $A^2-6A+9E=O$を示せ．ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \biggr),\quad O=\biggl( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \biggr)$とする．
(2) 数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$を \begin{align} & \biggl( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \biggr), \nonumber \\ & \biggl( \begin{array}{c} x_n \\ y_n \end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c} x_{n-1} \\ y_{n-1} \end{array} \biggr) \quad (n \geqq 2) \nonumber \end{align} で定めるとき，$x_n,\ y_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(3) 自然数$n$に対して，$A^n=a_nA+b_nE$となる$a_n,\ b_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(1) $A^2-6A+9E=O$を示せ．ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \biggr),\quad O=\biggl( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \biggr)$とする．
(2) 数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$を \begin{align} & \biggl( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \biggr), \nonumber \\ & \biggl( \begin{array}{c} x_n \\ y_n \end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c} x_{n-1} \\ y_{n-1} \end{array} \biggr) \quad (n \geqq 2) \nonumber \end{align} で定めるとき，$x_n,\ y_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(3) 自然数$n$に対して，$A^n=a_nA+b_nE$となる$a_n,\ b_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
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