$a$を$-1$でない実数とし，座標平面において，放物線 \[ C:y=(x^2-2x+1)+a(x^2-5x+6) \] を考える．
(1) $C$は，$a$の値によらず$2$点$\mathrm{P}(\fbox{ソ},\ \fbox{タ})$，$\mathrm{Q}(\fbox{チ},\ \fbox{ツ})$を必ず通る．ただし，$\fbox{ソ}<\fbox{チ}$とする．
(2) 点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$，点$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$\ell^\prime$とする．$\ell$と$\ell^\prime$の交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}},\ \frac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}a+\fbox{ヌ} \right)$である．
(3) $C$の軸は$\displaystyle x=\frac{1}{2} \left( \fbox{ネ}+\frac{\fbox{ノ}}{a+\fbox{ハ}} \right)$である．
(4) $C$が$x$軸と異なる$2$点で交わるのは
$a<\fbox{ヒ}$ \ または \ $\fbox{フ}<a$ \quad （ただし$a \neq -1$）
のときである．
(5) $a=\fbox{フ}$のとき，$C$は点$\displaystyle \left( \frac{\fbox{ヘ}}{\fbox{ホ}},\ 0 \right)$で$x$軸と接する． $C$が$x$軸と$2$点$(\alpha,\ 0)$，$(\beta,\ 0)$（ただし$\alpha<\beta$）で交わるとき，$\displaystyle \beta-\alpha=\frac{2}{3} \sqrt{5}$となるのは，$a=\fbox{マ}$または$\displaystyle a=\frac{\fbox{ミ}}{\fbox{ム}}$のときである．ただし，$\displaystyle \fbox{マ}<\frac{\fbox{ミ}}{\fbox{ム}}$とする．$a=\fbox{マ}$のとき，$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{メ}}{\fbox{モ}} \sqrt{\fbox{ヤ}}$である．