$xyz$空間において，$xy$平面上に$4$点 \[ \mathrm{A}_1(1,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{B}_1(0,\ 1,\ 0),\quad \mathrm{C}_1(-1,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{D}_1(0,\ -1,\ 0) \] を頂点とする正方形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$がある．$0<\theta<\pi$とし，この正方形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$を$xy$平面上で原点を中心に角$\theta$だけ回転させた後で$z$軸の正の方向に$2$だけ平行移動した正方形を$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$とする．
動点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$が，それぞれ点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$から同時に出発し，正方形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$，$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$の周上を，同じ速さで同じ向きに一周する．このとき，線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$が動いてできる曲面と正方形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$，$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$とで囲まれる立体を$V$とする．
(1) 線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の長さの最大値は$\sqrt{\fbox{ト}+\fbox{ナ} \fbox{き}}$であり，線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の長さの最小値は$\sqrt{\fbox{ニ}+\fbox{ヌ} \fbox{く}}$である．
(2) $0<h<2$とするとき，平面$z=h$による立体$V$の断面は，一辺の長さが \[ \sqrt{\fbox{ネ}+\left( \fbox{ノ}h^2+\fbox{ハ}h \right) \left( 1-\fbox{け} \right)} \] の正方形であり，その一辺の長さは$h=\fbox{ヒ}$のとき最小である．
(3) 立体$V$の体積は$\displaystyle \frac{\fbox{フ}}{\fbox{ヘ}}+\frac{\fbox{ホ}}{\fbox{マ}} \fbox{こ}$である．
(4) $\theta$が$\pi$に限りなく近づくとき，立体$V$の体積は$\displaystyle \frac{\fbox{ミ}}{\fbox{ム}}$に収束する． \begin{screen} $\fbox{き}$～$\fbox{こ}$の選択肢：
$\mathrm{(a)} \ \sin \theta \quad \mathrm{(b)} \ \cos \theta \quad \mathrm{(c)} \ \tan \theta \quad \mathrm{(d)} \ \sin^2 \theta \quad \mathrm{(e)} \ \cos \theta \sin \theta$
$\displaystyle \mathrm{(f)} \ \frac{1}{\sin \theta} \quad \mathrm{(g)} \ \frac{1}{\cos \theta} \quad \mathrm{(h)} \ \frac{1}{\tan \theta}$
\end{screen} \imgc{220_158_2015_1}