$N$を$2$以上の整数とする．整数$a,\ b$に対し，演算$\oplus$を \[ a \oplus b=\biggl( (a+b) \text{を}N \text{で割ったときの余り} \biggr) \] と定める．例えば，$N=2$のとき， \[ 0 \oplus 0=0,\quad 0 \oplus 1=1,\quad 1 \oplus 1=0,\quad 1 \oplus 3=0 \] である．
(1) 次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える． \[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n \oplus (n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(ⅰ) $N=4$のとき，$a_3=\fbox{ヌ}$である．
(ⅱ) $N \geqq 4$とする．
$N$が偶数のとき，$\displaystyle a_{N+1}=\frac{\fbox{ネ}}{\fbox{ノ}}N+\fbox{ハ}$，
$N$が奇数のとき，$\displaystyle a_{N+1}=\fbox{ヒ}$である．
(ⅲ) $N$が偶数のとき，$\displaystyle a_{N-1}=\frac{\fbox{フ}}{\fbox{ヘ}}N+\fbox{ホ}$，
$N$が奇数のとき，$\displaystyle a_{N-1}=\fbox{マ}$である．
(2) $N$を偶数とし，$N=2M$と表す．ただし，$M$は自然数である．次の条件によって定められる数列$\{b_n\}$を考える． \[ b_1=1,\quad b_{n+1}=b_n \oplus (2n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] このとき，$b_M=0$となる必要十分条件は，$N$が$\fbox{ミ}$の倍数となることである．
$N$が$\fbox{ミ}$の倍数でない偶数のとき，$\displaystyle b_M=\frac{\fbox{ム}}{\fbox{メ}}N$である．