岩手大学
2010年 工学部 第5問
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点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の点$\mathrm{P}_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の座標を$(x_n,\ y_n)$とする．行列$\left( \begin{array}{cc}
-1 & 2 \\
-1 & 1
\end{array} \right)$で表される移動により，点$\mathrm{P}_n$が点$\mathrm{P}_{n+1}$に移るとき，次の問いに答えよ．
(1) 点$\mathrm{P}_{n+1}$の座標を，$x_n,\ y_n$を用いて表せ．
(2) $(x_1,\ y_1)=(2,\ 1)$とする．すべての$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して， \[ (x_n,\ y_n) = \left(2\sin \frac{n\pi}{2},\ \sin \frac{n\pi}{2}+\cos \frac{n\pi}{2} \right) \] が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
(1) 点$\mathrm{P}_{n+1}$の座標を，$x_n,\ y_n$を用いて表せ．
(2) $(x_1,\ y_1)=(2,\ 1)$とする．すべての$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して， \[ (x_n,\ y_n) = \left(2\sin \frac{n\pi}{2},\ \sin \frac{n\pi}{2}+\cos \frac{n\pi}{2} \right) \] が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
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