東京医科歯科大学
2013年 医学部 第1問
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以下の各問いに答えよ．
(1) 実数$\alpha,\ \beta$が$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2},\ \tan \alpha \tan \beta=1$を満たすとき，$\alpha+\beta$の値を求めよ．
(2) 実数$\alpha,\ \beta,\ \gamma$が$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2},\ 0<\gamma<\frac{\pi}{2},\ \alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2}$を満たすとき， \[ \tan \alpha \tan \beta+\tan \beta \tan \gamma+\tan \gamma \tan \alpha \] の値は一定であることを示せ．
(3) 実数$\alpha,\ \beta,\ \gamma$が$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2},\ 0<\gamma<\frac{\pi}{2},\ \alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2}$を満たすとき， \[ \tan \alpha+\tan \beta+\tan \gamma \] のとりうる値の範囲を求めよ．
(1) 実数$\alpha,\ \beta$が$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2},\ \tan \alpha \tan \beta=1$を満たすとき，$\alpha+\beta$の値を求めよ．
(2) 実数$\alpha,\ \beta,\ \gamma$が$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2},\ 0<\gamma<\frac{\pi}{2},\ \alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2}$を満たすとき， \[ \tan \alpha \tan \beta+\tan \beta \tan \gamma+\tan \gamma \tan \alpha \] の値は一定であることを示せ．
(3) 実数$\alpha,\ \beta,\ \gamma$が$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2},\ 0<\gamma<\frac{\pi}{2},\ \alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2}$を満たすとき， \[ \tan \alpha+\tan \beta+\tan \gamma \] のとりうる値の範囲を求めよ．
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