鹿児島大学
2013年 医（医）・理（数理・物理・地環）・工・歯 第2問
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次の各問いに答えよ．
(1) 次の$\tokeiichi,\ \tokeini$に答えよ．
(ⅰ) $m,\ n$が自然数ならば，$\displaystyle \frac{m}{n} \neq \sqrt{2}$である．このことを証明せよ．
(ⅱ) $p,\ q$が自然数ならば，$\sqrt{2}$は$\displaystyle \frac{p}{q}$と$\displaystyle \frac{2q}{p}$の間にある．すなわち，$\displaystyle \frac{p}{q}<\sqrt{2}<\frac{2q}{p}$または$\displaystyle \frac{2q}{p}<\sqrt{2}<\frac{p}{q}$が成り立つ．このことを証明せよ．
(2) 定数$a$は実数で，$a>0,\ a \neq 1$とする．このとき，すべての正の実数$x,\ y$に対して$x^{\log_ay}=y^{\log_ax}$が成り立つ．このことを証明せよ．
(1) 次の$\tokeiichi,\ \tokeini$に答えよ．
(ⅰ) $m,\ n$が自然数ならば，$\displaystyle \frac{m}{n} \neq \sqrt{2}$である．このことを証明せよ．
(ⅱ) $p,\ q$が自然数ならば，$\sqrt{2}$は$\displaystyle \frac{p}{q}$と$\displaystyle \frac{2q}{p}$の間にある．すなわち，$\displaystyle \frac{p}{q}<\sqrt{2}<\frac{2q}{p}$または$\displaystyle \frac{2q}{p}<\sqrt{2}<\frac{p}{q}$が成り立つ．このことを証明せよ．
(2) 定数$a$は実数で，$a>0,\ a \neq 1$とする．このとき，すべての正の実数$x,\ y$に対して$x^{\log_ay}=y^{\log_ax}$が成り立つ．このことを証明せよ．
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類題（関連度順）
コメント（2件）
2015-09-18 18:42:24
難しくはないけど受験生の盲点になりやすい問題を集めた小問集合です。(1)は実質、ルート2が無理数であることの証明なので、「ルート2は無理数なので成り立つ」では駄目です。(2)は間にあるときにどのような不等式が成り立つか考えてみましょう。(3)は対数をとって考えてみましょう。 |
2015-09-18 00:07:27
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