広島大学
2013年 理系 第5問
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次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1) $x \geqq 2$のとき，$x^4e^{-3x} \leqq 16e^{-6}$を示せ．また，これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty}x^3e^{-3x}$を求めよ．
(2) $k$を定数とする．$x>0$の範囲で方程式 \[ xe^{-3x}=\frac{k}{x^2} \] がちょうど$2$つの解$\alpha,\ \beta \ \ (\alpha<\beta)$をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(3) $(2)$の$\alpha,\ \beta$が$\beta=2 \alpha$を満たすとき，曲線$y=xe^{-3x} \ \ (x>0)$と曲線$\displaystyle y=\frac{k}{x^2} \ \ (x>0)$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1) $x \geqq 2$のとき，$x^4e^{-3x} \leqq 16e^{-6}$を示せ．また，これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty}x^3e^{-3x}$を求めよ．
(2) $k$を定数とする．$x>0$の範囲で方程式 \[ xe^{-3x}=\frac{k}{x^2} \] がちょうど$2$つの解$\alpha,\ \beta \ \ (\alpha<\beta)$をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(3) $(2)$の$\alpha,\ \beta$が$\beta=2 \alpha$を満たすとき，曲線$y=xe^{-3x} \ \ (x>0)$と曲線$\displaystyle y=\frac{k}{x^2} \ \ (x>0)$で囲まれた部分の面積を求めよ．
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