$n$を$2$以上の自然数とする．次の問いに答えよ．
(1) 変量$x$のデータの値が$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$であるとし， \[ f(a)=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (x_k-a)^2 \] とする．$f(a)$を最小にする$a$は$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$の平均値で，そのときの最小値は$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$の分散であることを示せ．
(2) $c$を定数として，変量$y,\ z$の$k$番目のデータの値が
$y_k=k\phantom{c} \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$
$z_k=ck \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$
であるとする．このとき$y_1,\ y_2,\ \cdots,\ y_n$の分散が$z_1,\ z_2,\ \cdots,\ z_n$の分散より大きくなるための$c$の必要十分条件を求めよ．
(3) 変量$x$のデータの値が$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$であるとし，その平均値を$\overline{x}$とする．新たにデータを得たとし，その値を$x_{n+1}$とする．$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n,\ x_{n+1}$の平均値を$x_{n+1},\ \overline{x}$および$n$を用いて表せ．
(4) 次の$40$個のデータの平均値，分散，中央値を計算すると，それぞれ，ちょうど$40,\ 670,\ 35$であった． \begin{center} \begin{tabular}{|rrrrrrrrrr|} \hline $120$ & $10$ & $60$ & $70$ & $30$ & $20$ & $20$ & $30$ & $20$ & $60$ \\ $40$ & $50$ & $40$ & $10$ & $30$ & $40$ & $40$ & $30$ & $20$ & $70$ \\ $100$ & $20$ & $20$ & $40$ & $40$ & $60$ & $70$ & $20$ & $50$ & $10$ \\ $30$ & $10$ & $50$ & $80$ & $10$ & $30$ & $70$ & $10$ & $60$ & $10$ \\ \hline \end{tabular} \end{center} 新たにデータを得たとし，その値が$40$であった．このとき，$41$個のすべてのデータの平均値，分散，中央値を求めよ．ただし，得られた値が整数でない場合は，小数第$1$位を四捨五入せよ．