弘前大学
2015年 理系 第3問
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![次の問いに答えよ．(1)0≦x≦1/2のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．-x^2-x≦log(1-x)≦-x(2)数列{a_n}を次によって定める．\begin{array}{rcl}a_1&=&(1-\frac{1}{2・1^2})\a_2&=&(1-\frac{1}{2・2^2})(1-\frac{2}{2・2^2})\phantom{\frac{[]}{2}}\&\vdots&\a_n&=&(1-\frac{1}{2n^2})(1-\frac{2}{2n^2})・・・(1-\frac{n}{2n^2})\end{array}このとき，極限\lim_{n→∞}a_nを求めよ．](./thumb/37/2045/2015_3.png)
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次の問いに答えよ．
(1) $\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{1}{2}$のとき，次の不等式が成り立つことを示せ． \[ -x^2-x \leqq \log (1-x) \leqq -x \]
(2) 数列$\{a_n\}$を次によって定める． \[ \begin{array}{rcl} a_1 &=& \displaystyle \left( 1-\frac{1}{2 \cdot 1^2} \right) \\ a_2 &=& \displaystyle \left( 1-\frac{1}{2 \cdot 2^2} \right) \left( 1-\frac{2}{2 \cdot 2^2} \right) \phantom{\displaystyle\frac{\fbox{}}{2}} \\ & \vdots & \\ a_n &=& \displaystyle \left( 1-\frac{1}{2n^2} \right) \left( 1-\frac{2}{2n^2} \right) \cdots \left( 1-\frac{n}{2n^2} \right) \end{array} \] このとき，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
(1) $\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{1}{2}$のとき，次の不等式が成り立つことを示せ． \[ -x^2-x \leqq \log (1-x) \leqq -x \]
(2) 数列$\{a_n\}$を次によって定める． \[ \begin{array}{rcl} a_1 &=& \displaystyle \left( 1-\frac{1}{2 \cdot 1^2} \right) \\ a_2 &=& \displaystyle \left( 1-\frac{1}{2 \cdot 2^2} \right) \left( 1-\frac{2}{2 \cdot 2^2} \right) \phantom{\displaystyle\frac{\fbox{}}{2}} \\ & \vdots & \\ a_n &=& \displaystyle \left( 1-\frac{1}{2n^2} \right) \left( 1-\frac{2}{2n^2} \right) \cdots \left( 1-\frac{n}{2n^2} \right) \end{array} \] このとき，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
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コメント（1件）
2016-01-21 21:24:21
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