$c,\ d$を正の定数とする．図$1$のように点$\mathrm{O}$は極，$\mathrm{OX}$は始線，$\mathrm{A}$は$\mathrm{OX}$上の点で，点$\mathrm{A}$の極座標を$\displaystyle \left( \frac{c}{d},\ 0 \right)$とする．点$\mathrm{A}$を通り$\mathrm{OX}$に垂直な直線を$\ell$とする．点$\mathrm{P}$は$\ell$に関して$\mathrm{O}$と同じ側にあり，関係式 \[ d=\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PH}} \] を満たすように動いている．ただし，$\mathrm{H}$は$\mathrm{P}$から$\ell$に下ろした垂線と$\ell$との交点である．以下の問に答えなさい．
(1) 点$\mathrm{P}$の極座標を$(r,\ \theta)$とする．方程式 \[ r(d \cos \theta+1)=c \] が成り立つことを示しなさい．
(2) $\mathrm{O}$を通り，$\mathrm{OX}$に対する傾きがゼロでない直線が動点$\mathrm{P}$の軌跡と交わる$2$点を$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$とし，その極座標をそれぞれ$(r_1,\ \theta_1)$，$(r_2,\ \theta_2)$とする．ただし，$0<\theta_1<\pi$，$\pi<\theta_2<2\pi$とする．線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$が点$\mathrm{O}$で$1:2$に内分されるならば， \[ r_1=\frac{3}{4}c,\quad \cos \theta_1=\frac{1}{3d},\quad d>\frac{1}{3} \] となることを図$2$を参考にして示しなさい．
(3) $(2)$の条件をみたす点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$を通る直線の傾きが$\sqrt{9d^2-1}$であることを示しなさい．